.
.
LITTERATURE-ΛΟΓΟΤΕΧΝΙΑ-ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ-ΑΠΟ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ-EFCLIDIS
-μεταφραση-translation c.n.couvelis-χ.ν.κουβελης-
ΚΕΙΜΕΝΑ-TEXTS-Χ.Ν.Κουβελης[C.N.Couvelis}
.
.
![]()
ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ-ΑΠΟ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ-EFCLIDIS
-μεταφραση-translation c.n.couvelis-χ.ν.κουβελης
.
.
Ὅροι κγ΄.
α΄. Σημεῖόν ἐστιν, οὗ μέρος οὐθέν.
-σημειο ειναι αυτο που δεν εχει μερος πουθενα
β΄. Γραμμὴ δὲ μῆκος ἀπλατές.
-η γραμμη ειναι μηκος χωρις πλατος
γ΄. Γραμμῆς δὲ πέρατα σημεῖα.
-τα ακρα γραμμης ειναι σημεια
δ΄. Εὐθεῖα γραμμή ἐστιν, ἥτις ἐξ ἴσου τοῖς ἐφ'ἑαυτῆς σημείοις κεῖται.
-ευθεια γραμμη ειναι αυτη που εκτεινεται εξισου απο τα σημεια της
ε΄. Ἐπιφάνεια δέ ἐστιν, ὃ μῆκος καὶ πλάτος μόνον ἔχει.
-επιφανεια ειναι αυτη,που εχει μηκος και πλατος μονον
ϛ΄. Ἐπιφανείας δὲ πέρατα γραμμαί.
-τα ακρα επιφανειας ειναι γραμμαι
ζ΄. Ἐπίπεδος ἐπιφάνειά ἐστιν, ἥτις ἐξ ἴσου ταῖς ἐφ'ἑαυτῆς εὐθείαις
κεῖται.
-επιπεδη επιφανεια ειναι αυτη,που εκτεινεται εξισου απο τις ευθειες της
η΄. Ἐπίπεδος δὲ γωνία ἐστὶν ἡ ἐν ἐπιπέδῳ δύο γραμμῶν ἁπτομένων ἀλ-
λήλων καὶ μὴ ἐπ'εὐθείας κειμένων πρὸς ἀλλήλας τῶν γραμμῶν κλίσις.
-επιπεδη γωνια ειναι η κλιση δυο τεμνομενων ευθειων του επιπεδου
και που δεν βρισκονται πανω στην ιδια ευθεια
θ΄. Ὅταν δὲ αἱ περιέχουσαι τὴν γωνίαν γραμμαὶ εὐθεῖαι ὦσιν, εὐθύ-
γραμμος καλεῖται ἡ γωνία.
-ευθυγραμμη καλειται η γωνια οταν οι γραμμες που την περιεχουν
ειναι σ'ευθεια γραμμη
ι΄. Ὅταν δὲ εὐθεῖα ἐπ'εὐθεῖαν σταθεῖσα τὰς ἐφεξῆς γωνίας ἴσας ἀλ-
λήλαις ποιῇ, ὀρθὴ ἑκατέρα τῶν ἴσων γωνιῶν ἐστι, καὶ ἡ ἐφεστηκυῖα
εὐθεῖα κάθετος καλεῖται, ἐφ'ἣν ἐφέστηκεν.
-οταν μια ευθεια σταθει σ'αλλη ευθεια και κανει τις δυο εφεξεις
γωνιες ισες,ορθη ονομαζεται καθε μια απο τις ισες γωνιες
και η σταθησα ευθεια ονομαζεται καθετος ευθεια πανω στην
ευθεια ,που σταθηκε
ια΄. Ἀμβλεῖα γωνία ἐστὶν ἡ μείζων ὀρθῆς.
-αμβλεια γωνια ονομαζεται η μεγαλυτερη γωνια απο την ορθη
ιβ΄. Ὀξεῖα δὲ ἡ ἐλάσσων ὀρθῆς.
-οξεια γωνια ονομαζεται η μικροτερη γωνια απο την ορθη
ιγ΄. Ὅρος ἐστίν, ὅ τινός ἐστι πέρας.
-οριο ειναι το ακρο σε κατι
ιδ΄. Σχῆμά ἐστι τὸ ὑπό τινος ἤ τινων ὅρων περιεχόμενον.
-σχημα ειναι αυτο που περιεχεται σε καποιο η'καποια ορια
ιε΄. Κύκλος ἐστὶ σχῆμα ἐπίπεδον ὑπὸ μιᾶς γραμμῆς περιεχόμενον
[ἣ καλεῖται περιφέρεια], πρὸς ἣν ἀφ'ἑνὸς σημείου τῶν ἐντὸς τοῦ
σχήματος κειμένων πᾶσαι αἱ προσπίπτουσαι εὐθεῖαι [πρὸς τὴν
τοῦ κύκλου περιφέρειαν] ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν.
-κυκλος ονομαζεται το επιπεδο σχημα που περιεχεται σε
μια γραμμη[η οποια καλειται περιφερεια],προς την οποιαν
ειναι ισες ολες οι ευρισκομενες μεσα στο σχημα προσπιπτου-
σες ευθειες απο ενα σημειο
ιϛ΄. Κέντρον δὲ τοῦ κύκλου τὸ σημεῖον καλεῖται.
-κεντρο του κυκλου αυτο το σημειο καλειται
ιζ΄. Διάμετρος δὲ τοῦ κύκλου ἐστὶν εὐθεῖά τις διὰ τοῦ κέντρου
ἠγμένη καὶ περατουμένη ἐφ'ἑκάτερα τὰ μέρη ὑπὸ τῆς τοῦ κύ-
κλου περιφερείας, ἥτις καὶ δίχα τέμνει τὸν κύκλον.
-διαμετρος του κυκλου ειναι καποια ευθεια που διερχεται
απ'το κεντρο και τελειωνει στα δυο μερη της απο δω κι απο
εκει στην περιφερεια του κυκλου,και η οποια διαιρει τον κυ-
κλο στα δυο
ιη΄. Ἡμικύκλιον δέ ἐστι τὸ περιεχόμενον σχῆμα ὑπό τε τῆς δια-
μέτρου καὶ τῆς ἀπολαμβανομένης ὑπ'αὐτῆς περιφερείας. κέντρον
δὲ τοῦ ἡμικυκλίου τὸ αὐτό, ὃ καὶ τοῦ κύκλου ἐστίν.
-ημικυκλιο ειναι το σχημα που περιεχεται απο την διαμετρο
και την διαιρουμενη απ'αυτην περιφερεια,
κεντρο του ημικυκλιου ειναι αυτο,που ειναι και του κυκλου
ιθ΄. Σχήματα εὐθύγραμμά ἐστι τὰ ὑπὸ εὐθειῶν περιεχόμενα,
τρίπλευρα μὲν τὰ ὑπὸ τριῶν, τετράπλευρα δὲ τὰ ὑπὸ τεσσάρων,
πολύπλευρα δὲ τὰ ὑπὸ πλειόνων ἢ τεσσάρων εὐθειῶν περιε-
χόμενα.
-ευθυγραμμα σχηματα ειναι αυτα που περιεχονται απο
ευθειες,
τριπλευρα απο τρεις,τετραπλευρα απο τεσσερις,πολυπλευρα
απο περισσοτερες απο τεσσερις ευθειες περιεχομενα
κ΄. Τῶν δὲ τριπλεύρων σχημάτων ἰσόπλευρον μὲν τρίγωνόν
ἐστι τὸ τὰς τρεῖς ἴσας ἔχον πλευράς, ἰσοσκελὲς δὲ τὸ τὰς δύο
μόνας ἴσας ἔχον πλευράς, σκαληνὸν δὲ τὸ τὰς τρεῖς ἀνίσους
ἔχον πλευράς.
-απο τα τριπλευρα σχηματα ισοπλευρο τριγωνο ειναι αυτο
που εχει ισες και τις τρεις πλευρες,
ισοσκελες αυτο που εχει ισες μονο τις δυο πλευρες,
σκαληνο αυτο που εχει ανισες τις τρεις πλευρες
κα΄. Ἔτι δὲ τῶν τριπλεύρων σχημάτων ὀρθογώνιον μὲν τρίγωνόν
ἐστι τὸ ἔχον ὀρθὴν γωνίαν, ἀμβλυγώνιον δὲ τὸ ἔχον ἀμβλεῖαν γω-
νίαν, ὀξυγώνιον δὲ τὸ τὰς τρεῖς ὀξείας ἔχον γωνίας.
-ακομη απο τα τριπλευρα σχηματα ορθογωνιο τριγωνο ειναι αυτο
που εχει ορθη γωνια,
αμβλυγωνιο αυτο που εχει αμβλεια γωνια
οξυγωνιο αυτο που εχεις οξειες τις τρεις γωνιες
κβ΄. Τῶν δὲ τετραπλεύρων σχημάτων τετράγωνον μέν ἐστιν,
ὃ ἰσόπλευρόν τέ ἐστι καὶ ὀρθογώνιον, ἑτερόμηκες δέ, ὃ ὀρθογώνιον
μέν, οὐκ ἰσόπλευρον δέ, ῥόμβος δέ, ὃ ἰσόπλευρον μέν, οὐκ ὀρθογώ-
νιον δέ, ῥομβοειδὲς δὲ τὸ τὰς ἀπεναντίον πλευράς τε καὶ γωνίας ἴσας
ἀλλήλαις ἔχον, ὃ οὔτε ἰσόπλευρόν ἐστιν οὔτε ὀρθογώνιον: τὰ δὲ
παρὰ ταῦτα τετράπλευρα τραπέζια καλείσθω.
-απο τα τετραπλευρα σχηματα τετραγωνο ειναι αυτο που ειναι
ισοπλευρο και ορθογωνιο,
ετερομηκες,ορθογωνιο,οχι ισοπλευρο,
ρομβος,ισοπλευρο,οχι ορθογωνιο,
ρομβοειδες αυτο που εχει τις απεναντι πλευρες και γωνιες ισες,που
δεν ειναι ουτε ισοπλευρο ουτε ορθογωνιο,
τα δε αλλα απ'αυτα τετραπλευρα,τραπεζια ας ονομασθουν
κγ΄. Παράλληλοί εἰσιν εὐθεῖαι, αἵτινες ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ οὖσαι
καὶ ἐκβαλλόμεναι εἰς ἄπειρον ἐφ'ἑκάτερα τὰ μέρη ἐπὶ μηδέτερα
συμπίπτουσιν ἀλλήλαις.
-παραλληλες ειναι οι ευθειες,εκεινες που βρισκονται στο ιδιο επι-
πεδο και οταν προεκταθουν στο απειρο και απ'τα δυο τους μερη
καμια δεν συνανταει την αλλη
Αἰτήματα ε΄.
α΄. Ἠιτήσθω ἀπὸ παντὸς σημείου ἐπὶ πᾶν σημεῖον εὐθεῖαν γραμμὴν
ἀγαγεῖν.
-να ζητηται απο καθε σημειο σε καθε σημειο να τραβιεται ευθεια
γραμμη
β΄. Καὶ πεπερασμένην εὐθεῖαν κατὰ τὸ συνεχὲς ἐπ'εὐθείας ἐκβαλεῖν.
-και πεπερασμενη ευθεια κατα συνεχη τροπο να προεκτεινεται σ'ευθεια
γ΄. Καὶ παντὶ κέντρῳ καὶ διαστήματι κύκλον γράφεσθαι.
-και απο καθε κεντρο και μηκος να σχεδιαζεται κυκλος
δ΄. Καὶ πάσας τὰς ὀρθὰς γωνίας ἴσας ἀλλήλαις εἶναι.
-και ολες οι ορθες γωνιες μεταξυ τους ισες ειναι
ε΄. Καὶ ἐὰν εἰς δύο εὐθείας εὐθεῖα ἐμπίπτουσα τὰς ἐντὸς καὶ ἐπὶ τὰ
αὐτὰ μέρη γωνίας δύο ὀρθῶν ἐλάσσονας ποιῇ, ἐκβαλλομένας τὰς
δύο εὐθείας ἐπ'ἄπειρον συμπίπτειν, ἐφ'ἃ μέρη εἰσὶν αἱ τῶν δύο
ὀρθῶν ἐλάσσονες.
-και αν σε δυο ευθειες η ευθεια που τις τεμνει τις εντος και επι
τα αυτα μερη γωνιες μικροτερες απο δυο ορθες κανει,προεκτει-
νομενες οι δυο ευθειες στο απειρο συναντιονται,προς το μερος
που ειναι οι δυο γωνιες οι μικροτερες απο τις δυο ορθες
Κοιναί Ἒνοιαι θ΄.
α΄. Τὰ τῷ αὐτῷ ἴσα καὶ ἀλλήλοις ἐστὶν ἴσα.
-αυτα που ειναι ισα με το ιδιο και το ενα με το αλλο ειναι ισα
β΄. Καὶ ἐὰν ἴσοις ἴσα προστεθῇ, τὰ ὅλα ἐστὶν ἴσα.
-και αν σε ισα ισα προστεθουν τα αθροισματα ισα ειναι
γ΄. Καὶ ἐὰν ἀπὸ ἴσων ἴσα ἀφαιρεθῇ, τὰ καταλειπόμενά ἐστιν ἴσα.
-και αν απο ισα ισα αφαιρεθουν ,τα υπολοιπα ισα εινα
δ΄. Καὶ ἐὰν ἀνίσοις ἴσα προστεθῇ, τὰ ὅλα ἐστὶν ἄνισα.
-και αν σε ανισα ισα προστεθουν,τα αθροισματα ειναι ανισα
ε΄. Καὶ τὰ τοῦ αὐτοῦ διπλάσια ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν.
-και τα διπλασια του ιδιου ισα το ενα με το αλλο ειναι
ϛ΄. Καὶ τὰ τοῦ αὐτοῦ ἡμίση ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν.
-και τα μισα του ιδιου ισα το ενα με το αλλο ειναι
ζ΄. Καὶ τὰ ἐφαρμόζοντα ἐπ'ἄλληλα ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν.
-και αυτα που εφαρμοζουν το ενα με το αλλο ισα το ενα με
το αλλο ειναι
η΄. Καὶ τὸ ὅλον τοῦ μέρους μεῖζον [ἐστιν].
-και το ολο απο το μερος ειναι μεγαλυτερο
θ΄. Καὶ δύο εὐθεῖαι χωρίον οὐ περιέχουσιν.
-και δυο ευθειες δεν περιεχουν χωρο
.
.
![]()
ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ-Η ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΤΟΥ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ
[ΣΤΟΙΧΕΙΑ του Ευκλειδη-Βιβλιο 1,Προταση 47}
[Αρχαιο κειμενο-μεταφραση χ.ν.κουβελης]
.
1.47] ἐν τοῖς ὀρθογωνίοις τριγώνοις τὸ ἀπὸ τῆς τὴν ὀρθὴν γωνίαν
ὑποτεινούσης πλευρᾶς τετράγωνον ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν τὴν
ὀρθὴν γωνίαν περιεχουσῶν πλευρῶν τετραγώνοις.
ἔστω τρίγωνον ὀρθογώνιον τὸ ΑΒΓ ὀρθὴν ἔχον τὴν ὑπὸ ΒΑΓ
γωνίαν· λέγω, ὅτι τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ τετράγωνον ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ
τῶν ΒΑ, ΑΓ τετραγώνοις.
ἀναγεγράφθω γὰρ ἀπὸ μὲν τῆς ΒΓ τετράγωνον τὸ ΒΔΕΓ, ἀπὸ
δὲ τῶν ΒΑ, ΑΓ τὰ ΗΒ, ΘΓ, καὶ διὰ τοῦ Α ὁποτέρᾳ τῶν ΒΔ, ΓΕ
παράλληλος ἤχθω ἡ ΑΛ· καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΔ, ΖΓ. καὶ ἐπεὶ
ὀρθή ἐστιν ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ΒΑΓ, ΒΑΗ γωνιῶν, πρὸς δή τινι
εὐθείᾳ τῇ ΒΑ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ τῷ Α δύο εὐθεῖαι αἱ ΑΓ,
ΑΗ μὴ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη κείμεναι τὰς ἐφεξῆς γωνίας δυσὶν ὀρθαῖς
ἴσας ποιοῦσιν· ἐπ᾽ εὐθείας ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΑ τῇ ΑΗ. διὰ τὰ αὐτὰ
δὴ καὶ ἡ ΒΑ τῇ ΑΘ ἐστιν ἐπ᾽ εὐθείας. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ
ΔΒΓ γωνία τῇ ὑπὸ ΖΒΑ —ὀρθὴ γὰρ ἑκατέρα— κοινὴ προσκεί-
σθω ἡ ὑπὸ ΑΒΓ· ὅλη ἄρα ἡ ὑπὸ ΔΒΑ ὅλῃ τῇ ὑπὸ ΖΒΓ ἐστιν ἴση.
καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ μὲν ΔΒ τῇ ΒΓ, ἡ δὲ ΖΒ τῇ ΒΑ, δύο δὴ αἱ ΔΒ,
ΒΑ δύο ταῖς ΖΒ, ΒΓ ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέρᾳ· καὶ γωνία ἡ ὑπὸ
ΔΒΑ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΖΒΓ ἴση· βάσις ἄρα ἡ ΑΔ βάσει τῇ ΖΓ {ἐστιν}
ἴση, καὶ τὸ ΑΒΔ τρίγωνον τῷ ΖΒΓ τριγώνῳ ἐστὶν ἴσον· καὶ {ἐστι}
τοῦ μὲν ΑΒΔ τριγώνου διπλάσιον τὸ ΒΛ παραλληλόγραμμον·
βάσιν τε γὰρ τὴν αὐτὴν ἔχουσι τὴν ΒΔ καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς εἰσι πα-
ραλλήλοις ταῖς ΒΔ, ΑΛ· τοῦ δὲ ΖΒΓ τριγώνου διπλάσιον τὸ ΗΒ
τετράγωνον· βάσιν τε γὰρ πάλιν τὴν αὐτὴν ἔχουσι τὴν ΖΒ καὶ ἐν
ταῖς αὐταῖς εἰσι παραλλήλοις ταῖς ΖΒ, ΗΓ. {τὰ δὲ τῶν ἴσων δι-
πλάσια ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν·} ἴσον ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ΒΛ παραλλη-
λόγραμμον τῷ ΗΒ τετραγώνῳ. ὁμοίως δὴ ἐπιζευγνυμένων τῶν
ΑΕ, ΒΚ δειχθήσεται καὶ τὸ ΓΛ παραλληλόγραμμον ἴσον τῷ ΘΓ
τετραγώνῳ· ὅλον ἄρα τὸ ΒΔΕΓ τετράγωνον δυσὶ τοῖς ΗΒ, ΘΓ
τετραγώνοις ἴσον ἐστίν. καί ἐστι τὸ μὲν ΒΔΕΓ τετράγωνον ἀπὸ
τῆς ΒΓ ἀναγραφέν, τὰ δὲ ΗΒ, ΘΓ ἀπὸ τῶν ΒΑ, ΑΓ. τὸ ἄρα ἀπὸ
τῆς ΒΓ πλευρᾶς τετράγωνον ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΒΑ, ΑΓ
πλευρῶν τετραγώνοις.
ἐν ἄρα τοῖς ὀρθογωνίοις τριγώνοις τὸ ἀπὸ τῆς τὴν ὀρθὴν γωνίαν
ὑποτεινούσης πλευρᾶς τετράγωνον ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν τὴν
ὀρθὴν {γωνίαν} περιεχουσῶν πλευρῶν τετραγώνοις· ὅπερ ἔδει
δεῖξαι.
.
[μεταφραση χ.ν.κουβελης]
στα ορθογωνια τριγωνα το τετραγωνο της υποτεινουσας ,της
πλευρας απεναντι απο την ορθη γωνια,ειναι ισο με τα τετρα-
γωνα των πλευρων που περιεχουν την ορθη γωνια
εστω ορθογωνιο τριγωνο ΑΒΓ που εχει τη γωνια ΒΑΓ ορθη.
λεω[υποθετω]:πως το τετραγωνο της ΒΓ ειναι ισο με τα τετρα-
γωνα των ΒΑ,ΑΓ
ας σχεδιασω απο τη ΒΓ το τετραγωνο ΒΔΕΙ,απο τις ΒΑ,ΑΓ τα
τετραγωνα ΗΒ,ΘΓ και δια Α σε καθε μια απο τις ΒΔ,ΓΕ φερνω
την παραλληλο ΑΛ,κι ας συνδεθουν τα ΑΔ,ΖΓ,και επειδη καθε
γωνια ΒΑΓ,ΒΑΗ ειναι ορθη,αφου προς την ευθεια ΒΑ και προς
το σημειο της Α οι δυο ευθειες ΑΓ,ΑΗ δεν βρισκονται στο ιδιο
μερος τις εφεξης γωνιες τις κανουν ισες με δυο ορθες γωνιες,
ευθεια γωνια,επομενως σε ευθεια ειναι η ΓΑ με την ΑΗ,
για τον ιδιο λογο σε ευθεια ειναι και η ΒΑ με τη ΑΘ,
και επειδη η γωνια ΔΒΓ ειναι ιση με τη γωνια ΖΒΑ-αφου καθεμια
ορθη-αν τους κανω κοινη,τους προσθεσω,τη γωνια ΑΒΓ τοτε
το αθροισμα,ολη,η γωνια ΔΒΑ ειναι ιση με το αθροισμα,ολη,τη γωνια
ΖΒΓ,και επειδη ειναι ιση η ΔΒ με τη ΒΓ,και η ΖΒ με τη ΒΑ,οι ΔΒ,ΒΑ
με τις ΖΒ,ΒΓ καθεμια με καθεμια,και η γωνια ΔΒΑ ιση με τη ΖΒΓ,
τοτε η βαση ΑΔ ειναι ιση με τη βαση ΖΓ,και το τριγωνο ΔΒΑ
ειναι ισο με το τριγωνο ΖΒΓ,και ειναι το παραλληλογραμμο ΒΛ
διπλασιο του τριγωνου ΑΒΔ,αφου εχουν την ιδια βαση τη ΒΔ και
ειναι στις ιδιες παραλληλες στις ΒΔ,ΑΛ,το ΗΒ τετραγωνο ειναι διπλα-
σιο του τριγωνου ΖΒΓ,παλι εχουν την ιδια βαση την ΖΒ και ειναι
στις ιδιες παραλληλες στις ΖΒ,ΗΓ,[τα διπλασια ισων ειναι το ενα
με το αλλο ισα],επομενως ισο ειναι και το παραλληλογραμμο ΒΛ
με το τετραγωνο ΗΒ,ομοια συνδεδεμενων των ΑΕ,ΒΕ αποδειχνεται
και το παραλληλογραμμο ΓΛ ισο με το τετραγωνο ΘΓ,
επομενως ολοκληρο το τετραγωνο ΒΔΕΓ ειναι ισο και με τα δυο τετρα-
γωνα ΗΒ,ΘΓ μαζι,και ειναι το τετραγωνο ΒΔΕΓ σχεδιασμενο απο
την ΒΓ,και τα τετραγωνα ΗΒ,ΘΓ απο τις ΒΑ,ΑΓ,επομενως το τετραγωνο
απο τη πλευρα ΒΓ ειναι ισο με τα τετραγωνα απο τις πλευρες ΒΑ,ΑΓ.
επομενως στα ορθογωνια τριγωνα το τετραγωνο της υποτεινουσας,
της πλευρας απεναντι απο την ορθη γωνια,ειναι ισο με τα τετρα-
γωνα των πλευρων που περιεχουν την ορθη γωνια.[οπερ εδει δειξαι].
αυτο ακριβως το οποιο επρεπε να αποδειχθει
.
.
![]()
απο τα ΣΤΟΙΧΕΙΑ του Ευκλειδη [Βιβλιο γ']-προταση θεωρημα κβ'-
μεταφραση χ.ν.κουβελης
.
κβ΄. Τῶν ἐν τοῖς κύκλοις τετραπλεύρων αἱ ἀπεναντίον γωνίαι δυσὶν ὀρθαῖς
ἴσαι εἰσίν
Ἔστω κύκλος ὁ ΑΒΓΔ, καὶ ἐν αὐτῷ τετράπλευρον ἔστω τὸ ΑΒΓΔ· λέγω, ὅτι αἱ
ἀπεναντίον γωνίαι δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν.
Ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΓ, ΒΔ.
Ἐπεὶ οὖν παντὸς τριγώνου αἱ τρεῖς γωνίαι δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν, τοῦ ΑΒΓ ἄρα
τριγώνου αἱ τρεῖς γωνίαι αἱ ὑπὸ ΓΑΒ, ΑΒΓ, ΒΓΑ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν. ἴση δὲ ἡ
μὲν ὑπὸ ΓΑΒ τῇ ὑπὸ ΒΔΓ· ἐν γὰρ τῷ αὐτῷ τμήματί εἰσι τῷ ΒΑΔΓ·
ἡ δὲ ὑπὸ ΑΓΒ τῇ ὑπὸ ΑΔΒ· ἐν γὰρ τῷ αὐτῷ τμήματί εἰσι τῷ ΑΔΓΒ· ὅλη ἄρα ἡ
ὑπὸ ΑΔΓ ταῖς ὑπὸ ΒΑΓ, ΑΓΒ ἴση ἐστίν. κοινὴ προσκείσθω ἡ ὑπὸ ΑΒΓ· αἱ ἄρα ὑπὸ
ΑΒΓ, ΒΑΓ, ΑΓΒ ταῖς ὑπὸ ΑΒΓ, ΑΔΓ ἴσαι εἰσίν. ἀλλ'αἱ ὑπὸ ΑΒΓ, ΒΑΓ, ΑΓΒ δυσὶν
ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν. καὶ αἱ ὑπὸ ΑΒΓ, ΑΔΓ ἄρα δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν. ὁμοίως δὴ δεί-
ξομεν, ὅτι καὶ αἱ ὑπὸ ΒΑΔ, ΔΓΒ γωνίαι δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν.
Τῶν ἄρα ἐν τοῖς κύκλοις τετραπλεύρων αἱ ἀπεναντίον γωνίαι δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν·
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
.
.
κβ'.οι απεναντι γωνιες των εγγεγραμενων σε κυκλο τετραπλευρων εχουν αθροισμα
ισο με δυο ορθες
Εστω κυκλος και τα σημεια του ΑΒΓΔ, και το εγγεγραμενο σ'αυτον τετραπλευρο
ΑΒΓΔ,
υποστηριζω οτι οι απεναντι γωνιες του εχουν αθροισμα ισον με δυο ορθες
Ας ενωσουμε το Α με το Γ,και το Β με το Δ
Επειδη σε καθε τριγωνο το αθροισμα των τριων γωνιων του ειναι ισο με δυο ορθες,
τοτε του τριγωνου ΑΒΓ οι τρεις γωνιες ΓΑΒ,ΑΒΓ,ΒΓΑ εχουν αθροισμα ισον με δυο
ορθες,
η γωνια ΓΑΒ ειναι ιση με τη γωνια ΒΔΓ επειδη ειναι εγγεγραμμενες[στον ιδιο κυκλο]
στο ιδιο τμημα ΒΑΔΓ[αντιστοιχουν στο ιδιο τοξο ΒΓ ]
και η γωνια ΑΓΒ ειναι ιση με τη γωνια ΑΔΒ επειδη ειναι εγγεγραμμενες[στον ιδιο
κυκλο]στο ιδιο τμημα ΑΔΓΒ[αντιστοιχουν στο ιδιο τοξο ΑΒ]
Επομενως ολοκληρη η γωνια ΑΔΓ ιση ειναι με το αθροισμα των γωνιων ΒΑΓ,ΑΓΒ ,
με κοινη προσκειμενη[απεναντι]την γωνια ΑΒΓ
Επομενως οι γωνιες ΑΒΓ και ΑΔΓ ειναι ισες,επειδη οι γωνιες ΑΒΓ,ΒΑΓ,ΑΓΒ εχουν
αθροισμα ισον με δυο ορθες,τοτε και οι [απεναντι]γωνιες ΑΒΓ και ΑΔΓ εχουν αθροι-
σμα ισον με δυο ορθες
Ομοια θα αποδειξουμε οτι και οι [απεναντι]γωνιες ΒΑΔ και ΔΓΒ εχουν αθροισμα ισον
με δυο ορθες
Επομενως οι απεναντι γωνιες των εγγεγραμενων σε κυκλο τετραπλευρων εχουν αθροι-
σμα ισο με δυο ορθες.
Αυτο το οποιο ακριβως επρεπε να αποδειχθει
.
.
![]()
ΕΥΚΛΕΙΔΗ ΣΤΟΙΧΕΙΑ Βιβλιο δ'-ια΄. Εις τον δοθεντα κυκλον κυκλον πενταγωνον
ισοπλευρον τε και ισογωνιον εγγραψαι-μεταφραση χ.ν.κουβελης c.n.couvelis
.
.
ΕΥΚΛΕΙΔΗ ΣΤΟΙΧΕΙΑ Βιβλιο δ'
ια΄. Εἰς τὸν δοθέντα κύκλον πεντάγωνον ἰσόπλευρόν τε καὶ ἰσογώνιον ἐγγράψαι
Ἔστω ὁ δοθεὶς κύκλος ὁ ΑΒΓΔΕ· δεῖ δὴ εἰς τὸν ΑΒΓΔΕ κύκλον πεντάγωνον
ἰσόπλευρόν τε καὶ ἰσογώνιον ἐγγράψαι.
Ἐκκείσθω τρίγωνον ἰσοσκελὲς τὸ ΖΗΘ διπλασίονα ἔχον ἑκατέραν τῶν πρὸς τοῖς Η,
Θ γωνιῶν τῆς πρὸς τῷ Ζ, καὶ ἐγγεγράφθω εἰς τὸν ΑΒΓΔΕ κύκλον τῷ ΖΗΘ τριγώνῳ
ἰσογώνιον τρίγωνον τὸ ΑΓΔ, ὥστε τῇ μὲν πρὸς τῷ Ζ γωνίᾳ ἴσην εἶναι τὴν ὑπὸ ΓΑΔ,
ἑκατέραν δὲ τῶν πρὸς τοῖς Η, Θ ἴσην ἑκατέρᾳ τῶν ὑπὸ ΑΓΔ, ΓΔΑ· καὶ ἑκατέρα ἄρα
τῶν ὑπὸ ΑΓΔ, ΓΔΑ τῆς ὑπὸ ΓΑΔ ἐστι διπλῆ. τετμήσθω δὴ ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ΑΓΔ,
ΓΔΑ δίχα ὑπὸ ἑκατέρας τῶν ΓΕ, ΔΒ εὐθειῶν, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΒ, ΒΓ, [ΓΔ],
ΔΕ, ΕΑ.
Ἐπεὶ οὖν ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ΑΓΔ, ΓΔΑ γωνιῶν διπλασίων ἐστὶ τῆς ὑπὸ ΓΑΔ, καὶ
τετμημέναι εἰσὶ δίχα ὑπὸ τῶν ΓΕ, ΔΒ εὐθειῶν, αἱ πέντε ἄρα γωνίαι αἱ ὑπὸ ΔΑΓ, ΑΓΕ,
ΕΓΔ, ΓΔΒ, ΒΔΑ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν. αἱ δὲ ἴσαι γωνίαι ἐπὶ ἴσων περιφερειῶν βεβήκασιν·
αἱ πέντε ἄρα περιφέρειαι αἱ ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, ΔΕ, ΕΑ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν. ὑπὸ δὲ τὰς ἴσας
περιφερείας ἴσαι εὐθεῖαι ὑποτείνουσιν· αἱ πέντε ἄρα εὐθεῖαι αἱ ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, ΔΕ, ΕΑ
ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν· ἰσόπλευρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΓΔΕ πεντάγωνον. λέγω δή, ὅτι καὶ
ἰσογώνιον. ἐπεὶ γὰρ ἡ ΑΒ περιφέρεια τῇ ΔΕ περιφερείᾳ ἐστὶν ἴση, κοινὴ προσκείσθω
ἡ ΒΓΔ· ὅλη ἄρα ἡ ΑΒΓΔ περιφέρεια ὅλῃ τῇ ΕΔΓΒ περιφερείᾳ ἐστὶν ἴση. καὶ βέβηκεν
ἐπὶ μὲν τῆς ΑΒΓΔ περιφερείας γωνία ἡ ὑπὸ ΑΕΔ, ἐπὶ δὲ τῆς ΕΔΓΒ περιφερείας γωνία
ἡ ὑπὸ ΒΑΕ· καὶ ἡ ὑπὸ ΒΑΕ ἄρα γωνία τῇ ὑπὸ ΑΕΔ ἐστιν ἴση. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ
ἑκάστη τῶν ὑπὸ ΑΒΓ, ΒΓΔ, ΓΔΕ γωνιῶν ἑκατέρᾳ τῶν ὑπὸ ΒΑΕ, ΑΕΔ ἐστιν ἴση·
ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΓΔΕ πεντάγωνον. ἐδείχθη δὲ καὶ ἰσόπλευρον.
Εἰς ἄρα τὸν δοθέντα κύκλον πεντάγωνον ἰσόπλευρόν τε καὶ ἰσογώνιον ἐγγέγραπται·
ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.
[μεταφραση χ.ν.κουβελης]
ια'.Στον δοθεντα κυκλο πενταγωνο και ισοπλευρο και ισογωνιο να εγγραφει
Εστω ο δοθεις κυκλος ΑΒΓΔΕ.πρεπει στον ΑΒΓΔΕ κυκλο πενταγωνο και ισοπλευρο
και ισογωνιο να εγγραφει
Ας ειναι τριγωνο ισοσκελες ΗΖΘ το οποιο εχει διπλασια καθε μια απο τις γωνιες
στα Η,Θ της γωνιας προς το Ζ,και ας εγγραφει στον κυκλο ΑΒΓΔΕ στο ΖΗΘ τριγω-
νο ισογωνιο τριγωνο το ΑΓΔ,ωστε στη γωνια προς το Ζ ιση ειναι η υπο ΓΔΑ,καθε μια
δε απο τις γωνιες προς τα Η,Θ ιση με καθε μια απο τις υπο ΑΓΔ,ΓΔΑ,και καθε μια
επομενως απο τις υπο ΑΓΔ,ΓΔΑ της υπο ΓΑΔ ειναι διπλασια.ας διχοτομηθει καθε
μια απο τις υπο ΑΓΔ,ΓΔΑ απο καθε μια των ΓΕ,ΔΒ ευθειων,και ας συνδεθουν οι ΑΒ,
ΒΓ,ΓΔ,ΔΕ,ΕΑ
Επειδη λοιπον καθε μια απο τις υπο ΑΓΔ,ΓΔΑ γωνιες διπλασιες ειναι της υπο ΓΑΔ,
και διχοτομημενες ειναι απο των ,ΔΒ ευθειων,οι πεντε επομενως γωνιες υπο ΔΑΓ,
ΑΓΕ,ΕΓΔ,ΓΔΒ,ΒΔΑ ισες η μια με την αλλη ειναι,οι δε ισες γωνιες επι ισων περιφερειων
[τοξων] βαινουν.οι πεντε επομενως περιφερειες[τοξα] οι ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, ΔΕ, ΕΑ,ισες η
μια με την αλλη ειναι.υπο δε τις ισες περιφερειες[τοξα]ισες ευθειες[τμηματα]εκτει-
νονται.οι πεντε επομενως ευθεις οι ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, ΔΕ, ΕΑ,ισες η μια με την αλλη ειναι.
ισοπλευρο επομενως ειναι το ΑΒΓΔΕ πενταγωνο.λεω,πραγματι,οτι και ισογωνιο.επειδη
λοιπον η ΑΒ περιφερεια[τοξο] με την ΔΕ περιφερεια[τοξο] ειναι ιση,κοινη ας τοποθε-
τηθει πλαι η ΒΓΔ.ολη επομενως η ΑΒΓΔ περιφερεια[τοξο] σε ολη την ΕΔΓΒ περιφερεια
[τοξο] ειναι ιση.και βαινει επι μεν της ΑΒΓΔ περιφερειας[τοξου] γωνια η υπο ΑΕΔ,επι
δε της ΕΔΓΒ περιφερειας[τοξου] γωνια η υπο ΒΑΕ.και η υπο ΒΑΕ επομενως γωνια
στην υπο ΑΕΔ ειναι ιση.για τα ιδια,πραγματι,και καθε μια των υπο ΑΒΓ, ΒΓΔ, ΓΔΕ γω-
νιων με καθε μια απο των υπο ΒΑΕ, ΑΕΔ ειναι ιση.ισογωνιο επομενως ειναι το ΑΒΓΔΕ
πενταγωνο.αποδειχθηκε δε και ισοπλευρο.
Επομενως στον δοθεντα κυκλο πενταγωνο και ισοπλευρο και ισογωνιο εχει εγγραφει.
αυτο το οποιο επρεπε να κανουμε
[να κατασκευασθει]
.
.
![]()
ΕΥΚΛΕΙΔΗ ΣΤΟΙΧΕΙΑ Βιβλιο δ'-ι΄.Ισοσκελες τριγωνον συστησασθαι εχον εκατεραν
των προς τη βασει γωνιων διπλασιονα της λοιπης-μεταφραση χ.ν.κουβελης c.n.couvelis
.
.
ΕΥΚΛΕΙΔΗ ΣΤΟΙΧΕΙΑ-Βιβλιο δ'
ι΄. Ἰσοσκελὲς τρίγωνον συστήσασθαι ἔχον ἑκατέραν τῶν πρὸς τῇ βάσει γωνιῶν διπλασίονα
τῆς λοιπῆς
Ἐκκείσθω τις εὐθεῖα ἡ ΑΒ, καὶ τετμήσθω κατὰ τὸ Γ σημεῖον, ὥστε τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ
περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον εἶναι τῷ ἀπὸ τῆς ΓΑ τετραγώνῳ· καὶ κέντρῳ τῷ Α καὶ
διαστήματι τῷ ΑΒ κύκλος γεγράφθω ὁ ΒΔΕ, καὶ ἐνηρμόσθω εἰς τὸν ΒΔΕ κύκλον τῇ ΑΓ
εὐθείᾳ μὴ μείζονι οὔσῃ τῆς τοῦ ΒΔΕ κύκλου διαμέτρου ἴση εὐθεῖα ἡ ΒΔ· καὶ ἐπεζεύ-
χθωσαν αἱ ΑΔ, ΔΓ, καὶ περιγεγράφθω περὶ τὸ ΑΓΔ τρίγωνον κύκλος ὁ ΑΓΔ.Καὶ ἐπεὶ
τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΓ, ἴση δὲ ἡ ΑΓ τῇ ΒΔ, τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΒ,
ΒΓ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΒΔ. καὶ ἐπεὶ κύκλου τοῦ ΑΓΔ εἴληπταί τι σημεῖον ἐκτὸς τὸ Β,
καὶ ἀπὸ τοῦ Β πρὸς τὸν ΑΓΔ κύκλον προσπεπτώκασι δύο εὐθεῖαι αἱ ΒΑ, ΒΔ, καὶ ἡ μὲν
αὐτῶν τέμνει, ἡ δὲ προσπίπτει, καί ἐστι τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ ἴσον τῷ ἀπὸ τῆς ΒΔ, ἡ ΒΔ
ἄρα ἐφάπτεται τοῦ ΑΓΔ κύκλου. ἐπεὶ οὖν ἐφάπτεται μὲν ἡ ΒΔ, ἀπὸ δὲ τῆς κατὰ τὸ Δ ἐπα-
φῆς διῆκται ἡ ΔΓ, ἡ ἄρα ὑπὸ ΒΔΓ γωνία ἴση ἐστὶ τῇ ἐν τῷ ἐναλλὰξ τοῦ κύκλου τμήματι
γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΔΑΓ. ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΒΔΓ τῇ ὑπὸ ΔΑΓ, κοινὴ προσκείσθω ἡ ὑπὸ
ΓΔΑ· ὅλη ἄρα ἡ ὑπὸ ΒΔΑ ἴση ἐστὶ δυσὶ ταῖς ὑπὸ ΓΔΑ, ΔΑΓ. ἀλλὰ ταῖς ὑπὸ ΓΔΑ, ΔΑΓ
ἴση ἐστὶν ἡ ἐκτὸς ἡ ὑπὸ ΒΓΔ· καὶ ἡ ὑπὸ ΒΔΑ ἄρα ἴση ἐστὶ τῇ ὑπὸ ΒΓΔ. ἀλλὰ ἡ ὑπὸ ΒΔΑ
τῇ ὑπὸ ΓΒΔ ἐστιν ἴση, ἐπεὶ καὶ πλευρὰ ἡ ΑΔ τῇ ΑΒ ἐστιν ἴση· ὥστε καὶ ἡ ὑπὸ ΔΒΑ τῇ
ὑπὸ ΒΓΔ ἐστιν ἴση. αἱ τρεῖς ἄρα αἱ ὑπὸ ΒΔΑ, ΔΒΑ, ΒΓΔ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν. καὶ ἐπεὶ ἴση
ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΔΒΓ γωνία τῇ ὑπὸ ΒΓΔ, ἴση ἐστὶ καὶ πλευρὰ ἡ ΒΔ πλευρᾷ τῇ ΔΓ. ἀλλὰ ἡ ΒΔ
τῇ ΓΑ ὑπόκειται ἴση· καὶ ἡ ΓΑ ἄρα τῇ ΓΔ ἐστιν ἴση· ὥστε καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΓΔΑ γωνίᾳ
τῇ ὑπὸ ΔΑΓ ἐστιν ἴση· αἱ ἄρα ὑπὸ ΓΔΑ, ΔΑΓ τῆς ὑπὸ ΔΑΓ εἰσι διπλασίους. ἴση δὲ ἡ ὑπὸ
ΒΓΔ ταῖς ὑπὸ ΓΔΑ, ΔΑΓ· καὶ ἡ ὑπὸ ΒΓΔ ἄρα τῆς ὑπὸ ΓΑΔ ἐστι διπλῆ. ἴση δὲ ἡ ὑπὸ ΒΓΔ
ἑκατέρᾳ τῶν ὑπὸ ΒΔΑ, ΔΒΑ· καὶ ἑκατέρα ἄρα τῶν ὑπὸ ΒΔΑ, ΔΒΑ τῆς ὑπὸ ΔΑΒ ἐστι
διπλῆ.
Ἰσοσκελὲς ἄρα τρίγωνον συνέσταται τὸ ΑΒΔ ἔχον ἑκατέραν τῶν πρὸς τῇ ΔΒ βάσει
γωνιῶν διπλασίονα τῆς λοιπῆς· ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.
[μεταφραση χ.ν.κουβελης]
ι'ισοσκελες τριγωνο να κατασκευασθει το οποιο εχει καθε μια απο τις προς
τη βαση γωνιες διπλασια της λοιπης
Ας ειναι καποια ευθεια[τμημα]ΑΒ] και ας τμηθει κατα το Γ σημειο,ωστε το υπο
των ΑΒ,ΒΓπεριεχομενον ορθογωνιον[ΑΒ.ΒΓ] ισο ειναι με το απο της ΓΑ τετραγωνο
[ΓΑ .ΓΑ].και με κεντρο το Α και με διαστημα το ΑΒ κυκλος ας γραφει ο ΒΔΕ,και
ας συναρμοσθει στον ΒΔΕ κυκλο στην ΑΓ ευθεια οχι μεγαλυτερη να ειναι της δια-
μετρου του ΒΔΕ κυκλου ιση ευθεια η ΒΔ.και ας συνδεθουν οι ΑΔ,ΔΓ,και ας περι-
γραφει περι το ΑΓΔ τριγωνο κυκλος ο ΑΓΔ.
Και επειδη το υπο των ΑΒ,ΒΓ[ορθογωνιο] ισον ειναι στο απο της ΑΓ[τετραγωνο],
ιση δε η ΑΓ στη ΒΔ,επομενως το υπο των ΑΒ,ΒΓ[ορθογωνιο] ισο ειναι στο απο της
ΒΔ[τετραγωνο],και επειδη του ΑΓΔ[κυκλου] βρισκεται καποιο σημειο εκτος το Β,
και απο του Β προς τον ΑΓΔ κυκλον προσπιπτουν δυο ευθειες οι ΒΑ,ΒΔ,και η μια
μεν απ'αυτες τεμνει,η δε αλλη προσπιπτει,και ειναι το υπο των ΑΒ,ΒΓ[ορθογωνιο]
ισο με το απο της ΒΔ[τετραγωνο],η ΒΔ επομενως εφαπτεται του ΑΓΔ κυκλου.
επειδη λοιπον εφαπτεται μεν η ΒΔ,απο δε της κατα το Δ επαφης διερχεται η ΔΓ,η
υπο ΒΔΓ γωνια επομενως ιση ειναι με την στο αλλο μερος του κυκλου γωνια στην
υπο ΔΑΓ.επειδη λοιπον ιση ειναι η υπο ΒΓΔ στην υπο ΔΑΓ,κι ας μαζι προσκηθει η
υπο ΓΔΑ.ολη επομενως η υπο ΒΔΑ ιση ειναι με τις δυο τις υπο ΓΔΑ,ΔΑΓ.αλλα στις
υπο ΓΔΑ,ΔΑΓ ιση ειναι η εκτος η υπο ΒΓΔ.και η υπο ΒΔΑ επομενως ιση ειναι με την
υπο ΒΓΔ.αλλα η υπο ΒΔΑ με την υπο ΓΒΔ ειναι ιση,επειδη και η πλευρα ΑΔ με την
ΑΒ ειναι ιση.ωστε και η υπο ΔΒΑ με την υπο ΒΓΔ ειναι ιση.οι τρεις επομενως οι υπο
ΒΔΑ,ΔΒΑ,ΒΓΔ ισες η μια με την αλλη ειναι.και επειδη ιση ειναι η υπο ΔΒΓ γωνια με
την υπο ΒΓΔ,ιση ειναι και η πλευρα ΒΔ με την πλευρα την ΔΓ.αλλα η ΒΔ στη ΓΑ
βρισκεται απο κατω ιση.και η ΓΑ επομενως με τη ΓΔ ιση ειναι.ωστε και η γωνια η υπο
ΓΔΑ με την γωνια υπο ΔΑΓ ειναι ιση.επομενως οι υπο ΓΔΑ,ΔΑΓ της υπο ΔΑΓ ειναι
διπλασιες.ιση δε η υπο ΒΓΔ με τις υπο ΓΔΑ,ΔΑΓ.και η υπο ΒΓΔ επομενως της υπο
ΓΑΔ ειναι διπλασια.ιση δε η υπο ΒΓΔ με καθε μια σπο τις υπο ΒΔΑ,ΔΒΑ.και καθε μια
επομενως απο τις υπο ΒΔΑ,ΔΒΑ της υπο ΔΒΑ ειναι διπλασια.
Ισοσκελες επομενως τριγωνο κατατασκευασθηκε το ΑΒΔ το οποιο εχει καθε μια απο
τις προς τη ΔΒ βαση γωνιες διπλασιες της λοιπης.
αυτο το οποιο επρεπε να κανουμε
[να κατασκευασθει]
![]()
το αντιστροφο του 4ο αιτηματος του Ευκλειδη δεν ισχυει παντοτε-χ.ν.κουβελης c.n.couvelis
4ο Αιτημα των ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ του ΕΥΚΛΕΙΔΗ:
-Ολες οι ορθες γωνιες ειναι ισες-
Κατα τον Παππο το αντιστροφο δεν ισχυει:
οι γωνιες που ειναι ισες με μια ορθη γωνια δεν ειναι ισες παντοτε,παρα μονο
αν ειναι ευθυγραμμες
Αποδειξη:
Εστω η ορθη γωνια ΑΒΓ,με ΑΒ=ΒΓ και τα ισα ημικυκλια ΑΔΒ και ΒΕΓ
Τοτε γωνια ΑΔΒ=ΒΕΓ γωνια.Αν σ'αυτες προσθεσω την ΑΒΕ εχω:
ΔΒΕ γωνια=ΑΒΓ γωνια που ειναι ιση με ορθη γωνια.
Τοτε οι γωνιες αυτες δεν ειναι ισες ενω ειναι ισες με μια ορθη.
Οπερ Εδει Δειξαι.
.
.
.
.
LITTERATURE-ΛΟΓΟΤΕΧΝΙΑ-ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ-ΑΠΟ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ-EFCLIDIS
-μεταφραση-translation c.n.couvelis-χ.ν.κουβελης-
ΚΕΙΜΕΝΑ-TEXTS-Χ.Ν.Κουβελης[C.N.Couvelis}
.
.
ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ-ΑΠΟ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ-EFCLIDIS
-μεταφραση-translation c.n.couvelis-χ.ν.κουβελης
.
.
Ὅροι κγ΄.
α΄. Σημεῖόν ἐστιν, οὗ μέρος οὐθέν.
-σημειο ειναι αυτο που δεν εχει μερος πουθενα
β΄. Γραμμὴ δὲ μῆκος ἀπλατές.
-η γραμμη ειναι μηκος χωρις πλατος
γ΄. Γραμμῆς δὲ πέρατα σημεῖα.
-τα ακρα γραμμης ειναι σημεια
δ΄. Εὐθεῖα γραμμή ἐστιν, ἥτις ἐξ ἴσου τοῖς ἐφ'ἑαυτῆς σημείοις κεῖται.
-ευθεια γραμμη ειναι αυτη που εκτεινεται εξισου απο τα σημεια της
ε΄. Ἐπιφάνεια δέ ἐστιν, ὃ μῆκος καὶ πλάτος μόνον ἔχει.
-επιφανεια ειναι αυτη,που εχει μηκος και πλατος μονον
ϛ΄. Ἐπιφανείας δὲ πέρατα γραμμαί.
-τα ακρα επιφανειας ειναι γραμμαι
ζ΄. Ἐπίπεδος ἐπιφάνειά ἐστιν, ἥτις ἐξ ἴσου ταῖς ἐφ'ἑαυτῆς εὐθείαις
κεῖται.
-επιπεδη επιφανεια ειναι αυτη,που εκτεινεται εξισου απο τις ευθειες της
η΄. Ἐπίπεδος δὲ γωνία ἐστὶν ἡ ἐν ἐπιπέδῳ δύο γραμμῶν ἁπτομένων ἀλ-
λήλων καὶ μὴ ἐπ'εὐθείας κειμένων πρὸς ἀλλήλας τῶν γραμμῶν κλίσις.
-επιπεδη γωνια ειναι η κλιση δυο τεμνομενων ευθειων του επιπεδου
και που δεν βρισκονται πανω στην ιδια ευθεια
θ΄. Ὅταν δὲ αἱ περιέχουσαι τὴν γωνίαν γραμμαὶ εὐθεῖαι ὦσιν, εὐθύ-
γραμμος καλεῖται ἡ γωνία.
-ευθυγραμμη καλειται η γωνια οταν οι γραμμες που την περιεχουν
ειναι σ'ευθεια γραμμη
ι΄. Ὅταν δὲ εὐθεῖα ἐπ'εὐθεῖαν σταθεῖσα τὰς ἐφεξῆς γωνίας ἴσας ἀλ-
λήλαις ποιῇ, ὀρθὴ ἑκατέρα τῶν ἴσων γωνιῶν ἐστι, καὶ ἡ ἐφεστηκυῖα
εὐθεῖα κάθετος καλεῖται, ἐφ'ἣν ἐφέστηκεν.
-οταν μια ευθεια σταθει σ'αλλη ευθεια και κανει τις δυο εφεξεις
γωνιες ισες,ορθη ονομαζεται καθε μια απο τις ισες γωνιες
και η σταθησα ευθεια ονομαζεται καθετος ευθεια πανω στην
ευθεια ,που σταθηκε
ια΄. Ἀμβλεῖα γωνία ἐστὶν ἡ μείζων ὀρθῆς.
-αμβλεια γωνια ονομαζεται η μεγαλυτερη γωνια απο την ορθη
ιβ΄. Ὀξεῖα δὲ ἡ ἐλάσσων ὀρθῆς.
-οξεια γωνια ονομαζεται η μικροτερη γωνια απο την ορθη
ιγ΄. Ὅρος ἐστίν, ὅ τινός ἐστι πέρας.
-οριο ειναι το ακρο σε κατι
ιδ΄. Σχῆμά ἐστι τὸ ὑπό τινος ἤ τινων ὅρων περιεχόμενον.
-σχημα ειναι αυτο που περιεχεται σε καποιο η'καποια ορια
ιε΄. Κύκλος ἐστὶ σχῆμα ἐπίπεδον ὑπὸ μιᾶς γραμμῆς περιεχόμενον
[ἣ καλεῖται περιφέρεια], πρὸς ἣν ἀφ'ἑνὸς σημείου τῶν ἐντὸς τοῦ
σχήματος κειμένων πᾶσαι αἱ προσπίπτουσαι εὐθεῖαι [πρὸς τὴν
τοῦ κύκλου περιφέρειαν] ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν.
-κυκλος ονομαζεται το επιπεδο σχημα που περιεχεται σε
μια γραμμη[η οποια καλειται περιφερεια],προς την οποιαν
ειναι ισες ολες οι ευρισκομενες μεσα στο σχημα προσπιπτου-
σες ευθειες απο ενα σημειο
ιϛ΄. Κέντρον δὲ τοῦ κύκλου τὸ σημεῖον καλεῖται.
-κεντρο του κυκλου αυτο το σημειο καλειται
ιζ΄. Διάμετρος δὲ τοῦ κύκλου ἐστὶν εὐθεῖά τις διὰ τοῦ κέντρου
ἠγμένη καὶ περατουμένη ἐφ'ἑκάτερα τὰ μέρη ὑπὸ τῆς τοῦ κύ-
κλου περιφερείας, ἥτις καὶ δίχα τέμνει τὸν κύκλον.
-διαμετρος του κυκλου ειναι καποια ευθεια που διερχεται
απ'το κεντρο και τελειωνει στα δυο μερη της απο δω κι απο
εκει στην περιφερεια του κυκλου,και η οποια διαιρει τον κυ-
κλο στα δυο
ιη΄. Ἡμικύκλιον δέ ἐστι τὸ περιεχόμενον σχῆμα ὑπό τε τῆς δια-
μέτρου καὶ τῆς ἀπολαμβανομένης ὑπ'αὐτῆς περιφερείας. κέντρον
δὲ τοῦ ἡμικυκλίου τὸ αὐτό, ὃ καὶ τοῦ κύκλου ἐστίν.
-ημικυκλιο ειναι το σχημα που περιεχεται απο την διαμετρο
και την διαιρουμενη απ'αυτην περιφερεια,
κεντρο του ημικυκλιου ειναι αυτο,που ειναι και του κυκλου
ιθ΄. Σχήματα εὐθύγραμμά ἐστι τὰ ὑπὸ εὐθειῶν περιεχόμενα,
τρίπλευρα μὲν τὰ ὑπὸ τριῶν, τετράπλευρα δὲ τὰ ὑπὸ τεσσάρων,
πολύπλευρα δὲ τὰ ὑπὸ πλειόνων ἢ τεσσάρων εὐθειῶν περιε-
χόμενα.
-ευθυγραμμα σχηματα ειναι αυτα που περιεχονται απο
ευθειες,
τριπλευρα απο τρεις,τετραπλευρα απο τεσσερις,πολυπλευρα
απο περισσοτερες απο τεσσερις ευθειες περιεχομενα
κ΄. Τῶν δὲ τριπλεύρων σχημάτων ἰσόπλευρον μὲν τρίγωνόν
ἐστι τὸ τὰς τρεῖς ἴσας ἔχον πλευράς, ἰσοσκελὲς δὲ τὸ τὰς δύο
μόνας ἴσας ἔχον πλευράς, σκαληνὸν δὲ τὸ τὰς τρεῖς ἀνίσους
ἔχον πλευράς.
-απο τα τριπλευρα σχηματα ισοπλευρο τριγωνο ειναι αυτο
που εχει ισες και τις τρεις πλευρες,
ισοσκελες αυτο που εχει ισες μονο τις δυο πλευρες,
σκαληνο αυτο που εχει ανισες τις τρεις πλευρες
κα΄. Ἔτι δὲ τῶν τριπλεύρων σχημάτων ὀρθογώνιον μὲν τρίγωνόν
ἐστι τὸ ἔχον ὀρθὴν γωνίαν, ἀμβλυγώνιον δὲ τὸ ἔχον ἀμβλεῖαν γω-
νίαν, ὀξυγώνιον δὲ τὸ τὰς τρεῖς ὀξείας ἔχον γωνίας.
-ακομη απο τα τριπλευρα σχηματα ορθογωνιο τριγωνο ειναι αυτο
που εχει ορθη γωνια,
αμβλυγωνιο αυτο που εχει αμβλεια γωνια
οξυγωνιο αυτο που εχεις οξειες τις τρεις γωνιες
κβ΄. Τῶν δὲ τετραπλεύρων σχημάτων τετράγωνον μέν ἐστιν,
ὃ ἰσόπλευρόν τέ ἐστι καὶ ὀρθογώνιον, ἑτερόμηκες δέ, ὃ ὀρθογώνιον
μέν, οὐκ ἰσόπλευρον δέ, ῥόμβος δέ, ὃ ἰσόπλευρον μέν, οὐκ ὀρθογώ-
νιον δέ, ῥομβοειδὲς δὲ τὸ τὰς ἀπεναντίον πλευράς τε καὶ γωνίας ἴσας
ἀλλήλαις ἔχον, ὃ οὔτε ἰσόπλευρόν ἐστιν οὔτε ὀρθογώνιον: τὰ δὲ
παρὰ ταῦτα τετράπλευρα τραπέζια καλείσθω.
-απο τα τετραπλευρα σχηματα τετραγωνο ειναι αυτο που ειναι
ισοπλευρο και ορθογωνιο,
ετερομηκες,ορθογωνιο,οχι ισοπλευρο,
ρομβος,ισοπλευρο,οχι ορθογωνιο,
ρομβοειδες αυτο που εχει τις απεναντι πλευρες και γωνιες ισες,που
δεν ειναι ουτε ισοπλευρο ουτε ορθογωνιο,
τα δε αλλα απ'αυτα τετραπλευρα,τραπεζια ας ονομασθουν
κγ΄. Παράλληλοί εἰσιν εὐθεῖαι, αἵτινες ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ οὖσαι
καὶ ἐκβαλλόμεναι εἰς ἄπειρον ἐφ'ἑκάτερα τὰ μέρη ἐπὶ μηδέτερα
συμπίπτουσιν ἀλλήλαις.
-παραλληλες ειναι οι ευθειες,εκεινες που βρισκονται στο ιδιο επι-
πεδο και οταν προεκταθουν στο απειρο και απ'τα δυο τους μερη
καμια δεν συνανταει την αλλη
Αἰτήματα ε΄.
α΄. Ἠιτήσθω ἀπὸ παντὸς σημείου ἐπὶ πᾶν σημεῖον εὐθεῖαν γραμμὴν
ἀγαγεῖν.
-να ζητηται απο καθε σημειο σε καθε σημειο να τραβιεται ευθεια
γραμμη
β΄. Καὶ πεπερασμένην εὐθεῖαν κατὰ τὸ συνεχὲς ἐπ'εὐθείας ἐκβαλεῖν.
-και πεπερασμενη ευθεια κατα συνεχη τροπο να προεκτεινεται σ'ευθεια
γ΄. Καὶ παντὶ κέντρῳ καὶ διαστήματι κύκλον γράφεσθαι.
-και απο καθε κεντρο και μηκος να σχεδιαζεται κυκλος
δ΄. Καὶ πάσας τὰς ὀρθὰς γωνίας ἴσας ἀλλήλαις εἶναι.
-και ολες οι ορθες γωνιες μεταξυ τους ισες ειναι
ε΄. Καὶ ἐὰν εἰς δύο εὐθείας εὐθεῖα ἐμπίπτουσα τὰς ἐντὸς καὶ ἐπὶ τὰ
αὐτὰ μέρη γωνίας δύο ὀρθῶν ἐλάσσονας ποιῇ, ἐκβαλλομένας τὰς
δύο εὐθείας ἐπ'ἄπειρον συμπίπτειν, ἐφ'ἃ μέρη εἰσὶν αἱ τῶν δύο
ὀρθῶν ἐλάσσονες.
-και αν σε δυο ευθειες η ευθεια που τις τεμνει τις εντος και επι
τα αυτα μερη γωνιες μικροτερες απο δυο ορθες κανει,προεκτει-
νομενες οι δυο ευθειες στο απειρο συναντιονται,προς το μερος
που ειναι οι δυο γωνιες οι μικροτερες απο τις δυο ορθες
Κοιναί Ἒνοιαι θ΄.
α΄. Τὰ τῷ αὐτῷ ἴσα καὶ ἀλλήλοις ἐστὶν ἴσα.
-αυτα που ειναι ισα με το ιδιο και το ενα με το αλλο ειναι ισα
β΄. Καὶ ἐὰν ἴσοις ἴσα προστεθῇ, τὰ ὅλα ἐστὶν ἴσα.
-και αν σε ισα ισα προστεθουν τα αθροισματα ισα ειναι
γ΄. Καὶ ἐὰν ἀπὸ ἴσων ἴσα ἀφαιρεθῇ, τὰ καταλειπόμενά ἐστιν ἴσα.
-και αν απο ισα ισα αφαιρεθουν ,τα υπολοιπα ισα εινα
δ΄. Καὶ ἐὰν ἀνίσοις ἴσα προστεθῇ, τὰ ὅλα ἐστὶν ἄνισα.
-και αν σε ανισα ισα προστεθουν,τα αθροισματα ειναι ανισα
ε΄. Καὶ τὰ τοῦ αὐτοῦ διπλάσια ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν.
-και τα διπλασια του ιδιου ισα το ενα με το αλλο ειναι
ϛ΄. Καὶ τὰ τοῦ αὐτοῦ ἡμίση ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν.
-και τα μισα του ιδιου ισα το ενα με το αλλο ειναι
ζ΄. Καὶ τὰ ἐφαρμόζοντα ἐπ'ἄλληλα ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν.
-και αυτα που εφαρμοζουν το ενα με το αλλο ισα το ενα με
το αλλο ειναι
η΄. Καὶ τὸ ὅλον τοῦ μέρους μεῖζον [ἐστιν].
-και το ολο απο το μερος ειναι μεγαλυτερο
θ΄. Καὶ δύο εὐθεῖαι χωρίον οὐ περιέχουσιν.
-και δυο ευθειες δεν περιεχουν χωρο
.
.
ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ-Η ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΤΟΥ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ
[ΣΤΟΙΧΕΙΑ του Ευκλειδη-Βιβλιο 1,Προταση 47}
[Αρχαιο κειμενο-μεταφραση χ.ν.κουβελης]
.
1.47] ἐν τοῖς ὀρθογωνίοις τριγώνοις τὸ ἀπὸ τῆς τὴν ὀρθὴν γωνίαν
ὑποτεινούσης πλευρᾶς τετράγωνον ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν τὴν
ὀρθὴν γωνίαν περιεχουσῶν πλευρῶν τετραγώνοις.
ἔστω τρίγωνον ὀρθογώνιον τὸ ΑΒΓ ὀρθὴν ἔχον τὴν ὑπὸ ΒΑΓ
γωνίαν· λέγω, ὅτι τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ τετράγωνον ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ
τῶν ΒΑ, ΑΓ τετραγώνοις.
ἀναγεγράφθω γὰρ ἀπὸ μὲν τῆς ΒΓ τετράγωνον τὸ ΒΔΕΓ, ἀπὸ
δὲ τῶν ΒΑ, ΑΓ τὰ ΗΒ, ΘΓ, καὶ διὰ τοῦ Α ὁποτέρᾳ τῶν ΒΔ, ΓΕ
παράλληλος ἤχθω ἡ ΑΛ· καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΔ, ΖΓ. καὶ ἐπεὶ
ὀρθή ἐστιν ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ΒΑΓ, ΒΑΗ γωνιῶν, πρὸς δή τινι
εὐθείᾳ τῇ ΒΑ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ τῷ Α δύο εὐθεῖαι αἱ ΑΓ,
ΑΗ μὴ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη κείμεναι τὰς ἐφεξῆς γωνίας δυσὶν ὀρθαῖς
ἴσας ποιοῦσιν· ἐπ᾽ εὐθείας ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΑ τῇ ΑΗ. διὰ τὰ αὐτὰ
δὴ καὶ ἡ ΒΑ τῇ ΑΘ ἐστιν ἐπ᾽ εὐθείας. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ
ΔΒΓ γωνία τῇ ὑπὸ ΖΒΑ —ὀρθὴ γὰρ ἑκατέρα— κοινὴ προσκεί-
σθω ἡ ὑπὸ ΑΒΓ· ὅλη ἄρα ἡ ὑπὸ ΔΒΑ ὅλῃ τῇ ὑπὸ ΖΒΓ ἐστιν ἴση.
καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ μὲν ΔΒ τῇ ΒΓ, ἡ δὲ ΖΒ τῇ ΒΑ, δύο δὴ αἱ ΔΒ,
ΒΑ δύο ταῖς ΖΒ, ΒΓ ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέρᾳ· καὶ γωνία ἡ ὑπὸ
ΔΒΑ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΖΒΓ ἴση· βάσις ἄρα ἡ ΑΔ βάσει τῇ ΖΓ {ἐστιν}
ἴση, καὶ τὸ ΑΒΔ τρίγωνον τῷ ΖΒΓ τριγώνῳ ἐστὶν ἴσον· καὶ {ἐστι}
τοῦ μὲν ΑΒΔ τριγώνου διπλάσιον τὸ ΒΛ παραλληλόγραμμον·
βάσιν τε γὰρ τὴν αὐτὴν ἔχουσι τὴν ΒΔ καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς εἰσι πα-
ραλλήλοις ταῖς ΒΔ, ΑΛ· τοῦ δὲ ΖΒΓ τριγώνου διπλάσιον τὸ ΗΒ
τετράγωνον· βάσιν τε γὰρ πάλιν τὴν αὐτὴν ἔχουσι τὴν ΖΒ καὶ ἐν
ταῖς αὐταῖς εἰσι παραλλήλοις ταῖς ΖΒ, ΗΓ. {τὰ δὲ τῶν ἴσων δι-
πλάσια ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν·} ἴσον ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ΒΛ παραλλη-
λόγραμμον τῷ ΗΒ τετραγώνῳ. ὁμοίως δὴ ἐπιζευγνυμένων τῶν
ΑΕ, ΒΚ δειχθήσεται καὶ τὸ ΓΛ παραλληλόγραμμον ἴσον τῷ ΘΓ
τετραγώνῳ· ὅλον ἄρα τὸ ΒΔΕΓ τετράγωνον δυσὶ τοῖς ΗΒ, ΘΓ
τετραγώνοις ἴσον ἐστίν. καί ἐστι τὸ μὲν ΒΔΕΓ τετράγωνον ἀπὸ
τῆς ΒΓ ἀναγραφέν, τὰ δὲ ΗΒ, ΘΓ ἀπὸ τῶν ΒΑ, ΑΓ. τὸ ἄρα ἀπὸ
τῆς ΒΓ πλευρᾶς τετράγωνον ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΒΑ, ΑΓ
πλευρῶν τετραγώνοις.
ἐν ἄρα τοῖς ὀρθογωνίοις τριγώνοις τὸ ἀπὸ τῆς τὴν ὀρθὴν γωνίαν
ὑποτεινούσης πλευρᾶς τετράγωνον ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν τὴν
ὀρθὴν {γωνίαν} περιεχουσῶν πλευρῶν τετραγώνοις· ὅπερ ἔδει
δεῖξαι.
.
[μεταφραση χ.ν.κουβελης]
στα ορθογωνια τριγωνα το τετραγωνο της υποτεινουσας ,της
πλευρας απεναντι απο την ορθη γωνια,ειναι ισο με τα τετρα-
γωνα των πλευρων που περιεχουν την ορθη γωνια
εστω ορθογωνιο τριγωνο ΑΒΓ που εχει τη γωνια ΒΑΓ ορθη.
λεω[υποθετω]:πως το τετραγωνο της ΒΓ ειναι ισο με τα τετρα-
γωνα των ΒΑ,ΑΓ
ας σχεδιασω απο τη ΒΓ το τετραγωνο ΒΔΕΙ,απο τις ΒΑ,ΑΓ τα
τετραγωνα ΗΒ,ΘΓ και δια Α σε καθε μια απο τις ΒΔ,ΓΕ φερνω
την παραλληλο ΑΛ,κι ας συνδεθουν τα ΑΔ,ΖΓ,και επειδη καθε
γωνια ΒΑΓ,ΒΑΗ ειναι ορθη,αφου προς την ευθεια ΒΑ και προς
το σημειο της Α οι δυο ευθειες ΑΓ,ΑΗ δεν βρισκονται στο ιδιο
μερος τις εφεξης γωνιες τις κανουν ισες με δυο ορθες γωνιες,
ευθεια γωνια,επομενως σε ευθεια ειναι η ΓΑ με την ΑΗ,
για τον ιδιο λογο σε ευθεια ειναι και η ΒΑ με τη ΑΘ,
και επειδη η γωνια ΔΒΓ ειναι ιση με τη γωνια ΖΒΑ-αφου καθεμια
ορθη-αν τους κανω κοινη,τους προσθεσω,τη γωνια ΑΒΓ τοτε
το αθροισμα,ολη,η γωνια ΔΒΑ ειναι ιση με το αθροισμα,ολη,τη γωνια
ΖΒΓ,και επειδη ειναι ιση η ΔΒ με τη ΒΓ,και η ΖΒ με τη ΒΑ,οι ΔΒ,ΒΑ
με τις ΖΒ,ΒΓ καθεμια με καθεμια,και η γωνια ΔΒΑ ιση με τη ΖΒΓ,
τοτε η βαση ΑΔ ειναι ιση με τη βαση ΖΓ,και το τριγωνο ΔΒΑ
ειναι ισο με το τριγωνο ΖΒΓ,και ειναι το παραλληλογραμμο ΒΛ
διπλασιο του τριγωνου ΑΒΔ,αφου εχουν την ιδια βαση τη ΒΔ και
ειναι στις ιδιες παραλληλες στις ΒΔ,ΑΛ,το ΗΒ τετραγωνο ειναι διπλα-
σιο του τριγωνου ΖΒΓ,παλι εχουν την ιδια βαση την ΖΒ και ειναι
στις ιδιες παραλληλες στις ΖΒ,ΗΓ,[τα διπλασια ισων ειναι το ενα
με το αλλο ισα],επομενως ισο ειναι και το παραλληλογραμμο ΒΛ
με το τετραγωνο ΗΒ,ομοια συνδεδεμενων των ΑΕ,ΒΕ αποδειχνεται
και το παραλληλογραμμο ΓΛ ισο με το τετραγωνο ΘΓ,
επομενως ολοκληρο το τετραγωνο ΒΔΕΓ ειναι ισο και με τα δυο τετρα-
γωνα ΗΒ,ΘΓ μαζι,και ειναι το τετραγωνο ΒΔΕΓ σχεδιασμενο απο
την ΒΓ,και τα τετραγωνα ΗΒ,ΘΓ απο τις ΒΑ,ΑΓ,επομενως το τετραγωνο
απο τη πλευρα ΒΓ ειναι ισο με τα τετραγωνα απο τις πλευρες ΒΑ,ΑΓ.
επομενως στα ορθογωνια τριγωνα το τετραγωνο της υποτεινουσας,
της πλευρας απεναντι απο την ορθη γωνια,ειναι ισο με τα τετρα-
γωνα των πλευρων που περιεχουν την ορθη γωνια.[οπερ εδει δειξαι].
αυτο ακριβως το οποιο επρεπε να αποδειχθει
.
.
απο τα ΣΤΟΙΧΕΙΑ του Ευκλειδη [Βιβλιο γ']-προταση θεωρημα κβ'-
μεταφραση χ.ν.κουβελης
.
κβ΄. Τῶν ἐν τοῖς κύκλοις τετραπλεύρων αἱ ἀπεναντίον γωνίαι δυσὶν ὀρθαῖς
ἴσαι εἰσίν
Ἔστω κύκλος ὁ ΑΒΓΔ, καὶ ἐν αὐτῷ τετράπλευρον ἔστω τὸ ΑΒΓΔ· λέγω, ὅτι αἱ
ἀπεναντίον γωνίαι δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν.
Ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΓ, ΒΔ.
Ἐπεὶ οὖν παντὸς τριγώνου αἱ τρεῖς γωνίαι δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν, τοῦ ΑΒΓ ἄρα
τριγώνου αἱ τρεῖς γωνίαι αἱ ὑπὸ ΓΑΒ, ΑΒΓ, ΒΓΑ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν. ἴση δὲ ἡ
μὲν ὑπὸ ΓΑΒ τῇ ὑπὸ ΒΔΓ· ἐν γὰρ τῷ αὐτῷ τμήματί εἰσι τῷ ΒΑΔΓ·
ἡ δὲ ὑπὸ ΑΓΒ τῇ ὑπὸ ΑΔΒ· ἐν γὰρ τῷ αὐτῷ τμήματί εἰσι τῷ ΑΔΓΒ· ὅλη ἄρα ἡ
ὑπὸ ΑΔΓ ταῖς ὑπὸ ΒΑΓ, ΑΓΒ ἴση ἐστίν. κοινὴ προσκείσθω ἡ ὑπὸ ΑΒΓ· αἱ ἄρα ὑπὸ
ΑΒΓ, ΒΑΓ, ΑΓΒ ταῖς ὑπὸ ΑΒΓ, ΑΔΓ ἴσαι εἰσίν. ἀλλ'αἱ ὑπὸ ΑΒΓ, ΒΑΓ, ΑΓΒ δυσὶν
ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν. καὶ αἱ ὑπὸ ΑΒΓ, ΑΔΓ ἄρα δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν. ὁμοίως δὴ δεί-
ξομεν, ὅτι καὶ αἱ ὑπὸ ΒΑΔ, ΔΓΒ γωνίαι δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν.
Τῶν ἄρα ἐν τοῖς κύκλοις τετραπλεύρων αἱ ἀπεναντίον γωνίαι δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν·
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
.
.
κβ'.οι απεναντι γωνιες των εγγεγραμενων σε κυκλο τετραπλευρων εχουν αθροισμα
ισο με δυο ορθες
Εστω κυκλος και τα σημεια του ΑΒΓΔ, και το εγγεγραμενο σ'αυτον τετραπλευρο
ΑΒΓΔ,
υποστηριζω οτι οι απεναντι γωνιες του εχουν αθροισμα ισον με δυο ορθες
Ας ενωσουμε το Α με το Γ,και το Β με το Δ
Επειδη σε καθε τριγωνο το αθροισμα των τριων γωνιων του ειναι ισο με δυο ορθες,
τοτε του τριγωνου ΑΒΓ οι τρεις γωνιες ΓΑΒ,ΑΒΓ,ΒΓΑ εχουν αθροισμα ισον με δυο
ορθες,
η γωνια ΓΑΒ ειναι ιση με τη γωνια ΒΔΓ επειδη ειναι εγγεγραμμενες[στον ιδιο κυκλο]
στο ιδιο τμημα ΒΑΔΓ[αντιστοιχουν στο ιδιο τοξο ΒΓ ]
και η γωνια ΑΓΒ ειναι ιση με τη γωνια ΑΔΒ επειδη ειναι εγγεγραμμενες[στον ιδιο
κυκλο]στο ιδιο τμημα ΑΔΓΒ[αντιστοιχουν στο ιδιο τοξο ΑΒ]
Επομενως ολοκληρη η γωνια ΑΔΓ ιση ειναι με το αθροισμα των γωνιων ΒΑΓ,ΑΓΒ ,
με κοινη προσκειμενη[απεναντι]την γωνια ΑΒΓ
Επομενως οι γωνιες ΑΒΓ και ΑΔΓ ειναι ισες,επειδη οι γωνιες ΑΒΓ,ΒΑΓ,ΑΓΒ εχουν
αθροισμα ισον με δυο ορθες,τοτε και οι [απεναντι]γωνιες ΑΒΓ και ΑΔΓ εχουν αθροι-
σμα ισον με δυο ορθες
Ομοια θα αποδειξουμε οτι και οι [απεναντι]γωνιες ΒΑΔ και ΔΓΒ εχουν αθροισμα ισον
με δυο ορθες
Επομενως οι απεναντι γωνιες των εγγεγραμενων σε κυκλο τετραπλευρων εχουν αθροι-
σμα ισο με δυο ορθες.
Αυτο το οποιο ακριβως επρεπε να αποδειχθει
.
.
ΕΥΚΛΕΙΔΗ ΣΤΟΙΧΕΙΑ Βιβλιο δ'-ια΄. Εις τον δοθεντα κυκλον κυκλον πενταγωνον
ισοπλευρον τε και ισογωνιον εγγραψαι-μεταφραση χ.ν.κουβελης c.n.couvelis
.
.
ΕΥΚΛΕΙΔΗ ΣΤΟΙΧΕΙΑ Βιβλιο δ'
ια΄. Εἰς τὸν δοθέντα κύκλον πεντάγωνον ἰσόπλευρόν τε καὶ ἰσογώνιον ἐγγράψαι
Ἔστω ὁ δοθεὶς κύκλος ὁ ΑΒΓΔΕ· δεῖ δὴ εἰς τὸν ΑΒΓΔΕ κύκλον πεντάγωνον
ἰσόπλευρόν τε καὶ ἰσογώνιον ἐγγράψαι.
Ἐκκείσθω τρίγωνον ἰσοσκελὲς τὸ ΖΗΘ διπλασίονα ἔχον ἑκατέραν τῶν πρὸς τοῖς Η,
Θ γωνιῶν τῆς πρὸς τῷ Ζ, καὶ ἐγγεγράφθω εἰς τὸν ΑΒΓΔΕ κύκλον τῷ ΖΗΘ τριγώνῳ
ἰσογώνιον τρίγωνον τὸ ΑΓΔ, ὥστε τῇ μὲν πρὸς τῷ Ζ γωνίᾳ ἴσην εἶναι τὴν ὑπὸ ΓΑΔ,
ἑκατέραν δὲ τῶν πρὸς τοῖς Η, Θ ἴσην ἑκατέρᾳ τῶν ὑπὸ ΑΓΔ, ΓΔΑ· καὶ ἑκατέρα ἄρα
τῶν ὑπὸ ΑΓΔ, ΓΔΑ τῆς ὑπὸ ΓΑΔ ἐστι διπλῆ. τετμήσθω δὴ ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ΑΓΔ,
ΓΔΑ δίχα ὑπὸ ἑκατέρας τῶν ΓΕ, ΔΒ εὐθειῶν, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΒ, ΒΓ, [ΓΔ],
ΔΕ, ΕΑ.
Ἐπεὶ οὖν ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ΑΓΔ, ΓΔΑ γωνιῶν διπλασίων ἐστὶ τῆς ὑπὸ ΓΑΔ, καὶ
τετμημέναι εἰσὶ δίχα ὑπὸ τῶν ΓΕ, ΔΒ εὐθειῶν, αἱ πέντε ἄρα γωνίαι αἱ ὑπὸ ΔΑΓ, ΑΓΕ,
ΕΓΔ, ΓΔΒ, ΒΔΑ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν. αἱ δὲ ἴσαι γωνίαι ἐπὶ ἴσων περιφερειῶν βεβήκασιν·
αἱ πέντε ἄρα περιφέρειαι αἱ ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, ΔΕ, ΕΑ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν. ὑπὸ δὲ τὰς ἴσας
περιφερείας ἴσαι εὐθεῖαι ὑποτείνουσιν· αἱ πέντε ἄρα εὐθεῖαι αἱ ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, ΔΕ, ΕΑ
ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν· ἰσόπλευρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΓΔΕ πεντάγωνον. λέγω δή, ὅτι καὶ
ἰσογώνιον. ἐπεὶ γὰρ ἡ ΑΒ περιφέρεια τῇ ΔΕ περιφερείᾳ ἐστὶν ἴση, κοινὴ προσκείσθω
ἡ ΒΓΔ· ὅλη ἄρα ἡ ΑΒΓΔ περιφέρεια ὅλῃ τῇ ΕΔΓΒ περιφερείᾳ ἐστὶν ἴση. καὶ βέβηκεν
ἐπὶ μὲν τῆς ΑΒΓΔ περιφερείας γωνία ἡ ὑπὸ ΑΕΔ, ἐπὶ δὲ τῆς ΕΔΓΒ περιφερείας γωνία
ἡ ὑπὸ ΒΑΕ· καὶ ἡ ὑπὸ ΒΑΕ ἄρα γωνία τῇ ὑπὸ ΑΕΔ ἐστιν ἴση. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ
ἑκάστη τῶν ὑπὸ ΑΒΓ, ΒΓΔ, ΓΔΕ γωνιῶν ἑκατέρᾳ τῶν ὑπὸ ΒΑΕ, ΑΕΔ ἐστιν ἴση·
ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΓΔΕ πεντάγωνον. ἐδείχθη δὲ καὶ ἰσόπλευρον.
Εἰς ἄρα τὸν δοθέντα κύκλον πεντάγωνον ἰσόπλευρόν τε καὶ ἰσογώνιον ἐγγέγραπται·
ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.
[μεταφραση χ.ν.κουβελης]
ια'.Στον δοθεντα κυκλο πενταγωνο και ισοπλευρο και ισογωνιο να εγγραφει
Εστω ο δοθεις κυκλος ΑΒΓΔΕ.πρεπει στον ΑΒΓΔΕ κυκλο πενταγωνο και ισοπλευρο
και ισογωνιο να εγγραφει
Ας ειναι τριγωνο ισοσκελες ΗΖΘ το οποιο εχει διπλασια καθε μια απο τις γωνιες
στα Η,Θ της γωνιας προς το Ζ,και ας εγγραφει στον κυκλο ΑΒΓΔΕ στο ΖΗΘ τριγω-
νο ισογωνιο τριγωνο το ΑΓΔ,ωστε στη γωνια προς το Ζ ιση ειναι η υπο ΓΔΑ,καθε μια
δε απο τις γωνιες προς τα Η,Θ ιση με καθε μια απο τις υπο ΑΓΔ,ΓΔΑ,και καθε μια
επομενως απο τις υπο ΑΓΔ,ΓΔΑ της υπο ΓΑΔ ειναι διπλασια.ας διχοτομηθει καθε
μια απο τις υπο ΑΓΔ,ΓΔΑ απο καθε μια των ΓΕ,ΔΒ ευθειων,και ας συνδεθουν οι ΑΒ,
ΒΓ,ΓΔ,ΔΕ,ΕΑ
Επειδη λοιπον καθε μια απο τις υπο ΑΓΔ,ΓΔΑ γωνιες διπλασιες ειναι της υπο ΓΑΔ,
και διχοτομημενες ειναι απο των ,ΔΒ ευθειων,οι πεντε επομενως γωνιες υπο ΔΑΓ,
ΑΓΕ,ΕΓΔ,ΓΔΒ,ΒΔΑ ισες η μια με την αλλη ειναι,οι δε ισες γωνιες επι ισων περιφερειων
[τοξων] βαινουν.οι πεντε επομενως περιφερειες[τοξα] οι ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, ΔΕ, ΕΑ,ισες η
μια με την αλλη ειναι.υπο δε τις ισες περιφερειες[τοξα]ισες ευθειες[τμηματα]εκτει-
νονται.οι πεντε επομενως ευθεις οι ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, ΔΕ, ΕΑ,ισες η μια με την αλλη ειναι.
ισοπλευρο επομενως ειναι το ΑΒΓΔΕ πενταγωνο.λεω,πραγματι,οτι και ισογωνιο.επειδη
λοιπον η ΑΒ περιφερεια[τοξο] με την ΔΕ περιφερεια[τοξο] ειναι ιση,κοινη ας τοποθε-
τηθει πλαι η ΒΓΔ.ολη επομενως η ΑΒΓΔ περιφερεια[τοξο] σε ολη την ΕΔΓΒ περιφερεια
[τοξο] ειναι ιση.και βαινει επι μεν της ΑΒΓΔ περιφερειας[τοξου] γωνια η υπο ΑΕΔ,επι
δε της ΕΔΓΒ περιφερειας[τοξου] γωνια η υπο ΒΑΕ.και η υπο ΒΑΕ επομενως γωνια
στην υπο ΑΕΔ ειναι ιση.για τα ιδια,πραγματι,και καθε μια των υπο ΑΒΓ, ΒΓΔ, ΓΔΕ γω-
νιων με καθε μια απο των υπο ΒΑΕ, ΑΕΔ ειναι ιση.ισογωνιο επομενως ειναι το ΑΒΓΔΕ
πενταγωνο.αποδειχθηκε δε και ισοπλευρο.
Επομενως στον δοθεντα κυκλο πενταγωνο και ισοπλευρο και ισογωνιο εχει εγγραφει.
αυτο το οποιο επρεπε να κανουμε
[να κατασκευασθει]
.
.
.jpg)
ΕΥΚΛΕΙΔΗ ΣΤΟΙΧΕΙΑ Βιβλιο δ'-ι΄.Ισοσκελες τριγωνον συστησασθαι εχον εκατεραν
των προς τη βασει γωνιων διπλασιονα της λοιπης-μεταφραση χ.ν.κουβελης c.n.couvelis
.
.
ΕΥΚΛΕΙΔΗ ΣΤΟΙΧΕΙΑ-Βιβλιο δ'
ι΄. Ἰσοσκελὲς τρίγωνον συστήσασθαι ἔχον ἑκατέραν τῶν πρὸς τῇ βάσει γωνιῶν διπλασίονα
τῆς λοιπῆς
Ἐκκείσθω τις εὐθεῖα ἡ ΑΒ, καὶ τετμήσθω κατὰ τὸ Γ σημεῖον, ὥστε τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ
περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον εἶναι τῷ ἀπὸ τῆς ΓΑ τετραγώνῳ· καὶ κέντρῳ τῷ Α καὶ
διαστήματι τῷ ΑΒ κύκλος γεγράφθω ὁ ΒΔΕ, καὶ ἐνηρμόσθω εἰς τὸν ΒΔΕ κύκλον τῇ ΑΓ
εὐθείᾳ μὴ μείζονι οὔσῃ τῆς τοῦ ΒΔΕ κύκλου διαμέτρου ἴση εὐθεῖα ἡ ΒΔ· καὶ ἐπεζεύ-
χθωσαν αἱ ΑΔ, ΔΓ, καὶ περιγεγράφθω περὶ τὸ ΑΓΔ τρίγωνον κύκλος ὁ ΑΓΔ.Καὶ ἐπεὶ
τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΓ, ἴση δὲ ἡ ΑΓ τῇ ΒΔ, τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΒ,
ΒΓ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΒΔ. καὶ ἐπεὶ κύκλου τοῦ ΑΓΔ εἴληπταί τι σημεῖον ἐκτὸς τὸ Β,
καὶ ἀπὸ τοῦ Β πρὸς τὸν ΑΓΔ κύκλον προσπεπτώκασι δύο εὐθεῖαι αἱ ΒΑ, ΒΔ, καὶ ἡ μὲν
αὐτῶν τέμνει, ἡ δὲ προσπίπτει, καί ἐστι τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ ἴσον τῷ ἀπὸ τῆς ΒΔ, ἡ ΒΔ
ἄρα ἐφάπτεται τοῦ ΑΓΔ κύκλου. ἐπεὶ οὖν ἐφάπτεται μὲν ἡ ΒΔ, ἀπὸ δὲ τῆς κατὰ τὸ Δ ἐπα-
φῆς διῆκται ἡ ΔΓ, ἡ ἄρα ὑπὸ ΒΔΓ γωνία ἴση ἐστὶ τῇ ἐν τῷ ἐναλλὰξ τοῦ κύκλου τμήματι
γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΔΑΓ. ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΒΔΓ τῇ ὑπὸ ΔΑΓ, κοινὴ προσκείσθω ἡ ὑπὸ
ΓΔΑ· ὅλη ἄρα ἡ ὑπὸ ΒΔΑ ἴση ἐστὶ δυσὶ ταῖς ὑπὸ ΓΔΑ, ΔΑΓ. ἀλλὰ ταῖς ὑπὸ ΓΔΑ, ΔΑΓ
ἴση ἐστὶν ἡ ἐκτὸς ἡ ὑπὸ ΒΓΔ· καὶ ἡ ὑπὸ ΒΔΑ ἄρα ἴση ἐστὶ τῇ ὑπὸ ΒΓΔ. ἀλλὰ ἡ ὑπὸ ΒΔΑ
τῇ ὑπὸ ΓΒΔ ἐστιν ἴση, ἐπεὶ καὶ πλευρὰ ἡ ΑΔ τῇ ΑΒ ἐστιν ἴση· ὥστε καὶ ἡ ὑπὸ ΔΒΑ τῇ
ὑπὸ ΒΓΔ ἐστιν ἴση. αἱ τρεῖς ἄρα αἱ ὑπὸ ΒΔΑ, ΔΒΑ, ΒΓΔ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν. καὶ ἐπεὶ ἴση
ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΔΒΓ γωνία τῇ ὑπὸ ΒΓΔ, ἴση ἐστὶ καὶ πλευρὰ ἡ ΒΔ πλευρᾷ τῇ ΔΓ. ἀλλὰ ἡ ΒΔ
τῇ ΓΑ ὑπόκειται ἴση· καὶ ἡ ΓΑ ἄρα τῇ ΓΔ ἐστιν ἴση· ὥστε καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΓΔΑ γωνίᾳ
τῇ ὑπὸ ΔΑΓ ἐστιν ἴση· αἱ ἄρα ὑπὸ ΓΔΑ, ΔΑΓ τῆς ὑπὸ ΔΑΓ εἰσι διπλασίους. ἴση δὲ ἡ ὑπὸ
ΒΓΔ ταῖς ὑπὸ ΓΔΑ, ΔΑΓ· καὶ ἡ ὑπὸ ΒΓΔ ἄρα τῆς ὑπὸ ΓΑΔ ἐστι διπλῆ. ἴση δὲ ἡ ὑπὸ ΒΓΔ
ἑκατέρᾳ τῶν ὑπὸ ΒΔΑ, ΔΒΑ· καὶ ἑκατέρα ἄρα τῶν ὑπὸ ΒΔΑ, ΔΒΑ τῆς ὑπὸ ΔΑΒ ἐστι
διπλῆ.
Ἰσοσκελὲς ἄρα τρίγωνον συνέσταται τὸ ΑΒΔ ἔχον ἑκατέραν τῶν πρὸς τῇ ΔΒ βάσει
γωνιῶν διπλασίονα τῆς λοιπῆς· ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.
[μεταφραση χ.ν.κουβελης]
ι'ισοσκελες τριγωνο να κατασκευασθει το οποιο εχει καθε μια απο τις προς
τη βαση γωνιες διπλασια της λοιπης
Ας ειναι καποια ευθεια[τμημα]ΑΒ] και ας τμηθει κατα το Γ σημειο,ωστε το υπο
των ΑΒ,ΒΓπεριεχομενον ορθογωνιον[ΑΒ.ΒΓ] ισο ειναι με το απο της ΓΑ τετραγωνο
[ΓΑ .ΓΑ].και με κεντρο το Α και με διαστημα το ΑΒ κυκλος ας γραφει ο ΒΔΕ,και
ας συναρμοσθει στον ΒΔΕ κυκλο στην ΑΓ ευθεια οχι μεγαλυτερη να ειναι της δια-
μετρου του ΒΔΕ κυκλου ιση ευθεια η ΒΔ.και ας συνδεθουν οι ΑΔ,ΔΓ,και ας περι-
γραφει περι το ΑΓΔ τριγωνο κυκλος ο ΑΓΔ.
Και επειδη το υπο των ΑΒ,ΒΓ[ορθογωνιο] ισον ειναι στο απο της ΑΓ[τετραγωνο],
ιση δε η ΑΓ στη ΒΔ,επομενως το υπο των ΑΒ,ΒΓ[ορθογωνιο] ισο ειναι στο απο της
ΒΔ[τετραγωνο],και επειδη του ΑΓΔ[κυκλου] βρισκεται καποιο σημειο εκτος το Β,
και απο του Β προς τον ΑΓΔ κυκλον προσπιπτουν δυο ευθειες οι ΒΑ,ΒΔ,και η μια
μεν απ'αυτες τεμνει,η δε αλλη προσπιπτει,και ειναι το υπο των ΑΒ,ΒΓ[ορθογωνιο]
ισο με το απο της ΒΔ[τετραγωνο],η ΒΔ επομενως εφαπτεται του ΑΓΔ κυκλου.
επειδη λοιπον εφαπτεται μεν η ΒΔ,απο δε της κατα το Δ επαφης διερχεται η ΔΓ,η
υπο ΒΔΓ γωνια επομενως ιση ειναι με την στο αλλο μερος του κυκλου γωνια στην
υπο ΔΑΓ.επειδη λοιπον ιση ειναι η υπο ΒΓΔ στην υπο ΔΑΓ,κι ας μαζι προσκηθει η
υπο ΓΔΑ.ολη επομενως η υπο ΒΔΑ ιση ειναι με τις δυο τις υπο ΓΔΑ,ΔΑΓ.αλλα στις
υπο ΓΔΑ,ΔΑΓ ιση ειναι η εκτος η υπο ΒΓΔ.και η υπο ΒΔΑ επομενως ιση ειναι με την
υπο ΒΓΔ.αλλα η υπο ΒΔΑ με την υπο ΓΒΔ ειναι ιση,επειδη και η πλευρα ΑΔ με την
ΑΒ ειναι ιση.ωστε και η υπο ΔΒΑ με την υπο ΒΓΔ ειναι ιση.οι τρεις επομενως οι υπο
ΒΔΑ,ΔΒΑ,ΒΓΔ ισες η μια με την αλλη ειναι.και επειδη ιση ειναι η υπο ΔΒΓ γωνια με
την υπο ΒΓΔ,ιση ειναι και η πλευρα ΒΔ με την πλευρα την ΔΓ.αλλα η ΒΔ στη ΓΑ
βρισκεται απο κατω ιση.και η ΓΑ επομενως με τη ΓΔ ιση ειναι.ωστε και η γωνια η υπο
ΓΔΑ με την γωνια υπο ΔΑΓ ειναι ιση.επομενως οι υπο ΓΔΑ,ΔΑΓ της υπο ΔΑΓ ειναι
διπλασιες.ιση δε η υπο ΒΓΔ με τις υπο ΓΔΑ,ΔΑΓ.και η υπο ΒΓΔ επομενως της υπο
ΓΑΔ ειναι διπλασια.ιση δε η υπο ΒΓΔ με καθε μια σπο τις υπο ΒΔΑ,ΔΒΑ.και καθε μια
επομενως απο τις υπο ΒΔΑ,ΔΒΑ της υπο ΔΒΑ ειναι διπλασια.
Ισοσκελες επομενως τριγωνο κατατασκευασθηκε το ΑΒΔ το οποιο εχει καθε μια απο
τις προς τη ΔΒ βαση γωνιες διπλασιες της λοιπης.
αυτο το οποιο επρεπε να κανουμε
[να κατασκευασθει]
.
.
το αντιστροφο του 4ο αιτηματος του Ευκλειδη δεν ισχυει παντοτε-χ.ν.κουβελης c.n.couvelis
4ο Αιτημα των ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ του ΕΥΚΛΕΙΔΗ:
-Ολες οι ορθες γωνιες ειναι ισες-
Κατα τον Παππο το αντιστροφο δεν ισχυει:
οι γωνιες που ειναι ισες με μια ορθη γωνια δεν ειναι ισες παντοτε,παρα μονο
αν ειναι ευθυγραμμες
Αποδειξη:
Εστω η ορθη γωνια ΑΒΓ,με ΑΒ=ΒΓ και τα ισα ημικυκλια ΑΔΒ και ΒΕΓ
Τοτε γωνια ΑΔΒ=ΒΕΓ γωνια.Αν σ'αυτες προσθεσω την ΑΒΕ εχω:
ΔΒΕ γωνια=ΑΒΓ γωνια που ειναι ιση με ορθη γωνια.
Τοτε οι γωνιες αυτες δεν ειναι ισες ενω ειναι ισες με μια ορθη.
Οπερ Εδει Δειξαι.
.
.
.